Kaos Teorisi

Kelebek Etkisi
bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir.

Kelebek Etkisi'ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgârla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.

Not: Lorenz'in 1963'te yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz diferansiyel denkleminin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirine karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç birçok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir.

---

Bir mıh bir nalı kurtarır
Bir nal bir atı kurtarır
Bir at bir yiğidi kurtarır
Bir yiğit bir orduyu kurtarır
Bir ordu bir savaşı kurtarır
Bir savaş bir ülkeyi kurtarır’’
Anonim
Yukarıdaki tekerleme ile kaos teorisi arasındaki bağlantı nedir diye sormayın.
Teoriyi açıklayınca mıh -yani eski dilde çivi- ile bir ülke arasındaki
bağlantıyı göreceğiz. Şimdilik çiviye başlangıç değeri, ülkenin kurtulmasına
da sonuç diyelim ve kaos teorisini açıklamaya başlayalım.

Kaos kelimesi insanda pek de hoş olmayan çağrışımlar yapar. Karmaşıklık,
belirsizlik ve hatta anarşi. Bilimde ise kaos kelimesi belirlenemezlik
olarak kabul edilir. Yani günlük yaşamda kullanımı ile bilimde kullanımı
oldukça farklıdır.

Bilim dünyasında yüzyıllarca doğanın öngörülebilir yani determinist olduğu
düşüncesi yaygındı. Eğer bir doğa olayını matematiksel olarak modellerseniz
basit neden sonuç ilişkisine göre sonucu öngörebilirsiniz. Yani olan bir
şey rasgele olmaz. Bu fikir doğrudur da aslında... Bir çok doğa olayının
tam anlamı ile tanımlanmış matematik modelleri vardır. Determinizm ilkesine
göre bu matematiksel ifadelere gerekli değerleri koyduğunuzda sonucu elde
edersiniz. Fakat bir sistemin determinist olması onun öngörülebilir olması
anlamına gelmez. Garip ama gerçek.

Hikayemiz ENIAC ile başlıyor. 1940’ların sonuna doğru balistik hesaplamalar yapmak için ilk bilgisayar ENIAC geliştirildiği zaman bilim dünyasını büyük bir iyimserlik ve heyecan kaplamıştı. Bu günkü bilgisayarlardan farklı olarak ENIAC bir odayı dolduracak kadar büyüklükte ve tonlarla ifade edilen ağırlıktaydı. Yine de bu hantal alet yeni ufuklar vaat ediyordu. Özellikle meteoroloji alanında herkes heyecanlıydı. Bu aşırı iyimserliğin ve umudun nedeni şuydu; eğer elinizde bir saniyede binlerce toplama, çıkarma, bölme ve çarpma vs. yapabilen bir makine varsa gelecekteki hava durumunu tahmin etmek içten bile değildi. Yapmanız gereken tek şey bir akışkan olan hava için kullanılan matematiksel fonksiyonların değerlerini bilgisayara girip sonucu bulmaktı. Determinizm ilkesine göre sıcaklık öngörülebilir bir şeydir çünkü tüm akışkanlar ve tabi ki hava navier-stroke denklemlerine göre davranırlar. Bu günün hava sıcaklığı, rüzgarın hızı vs. ertesi günkü hava sıcaklığını ve rüzgarın hızını verir. Ertesi günkü havanın sıcaklığını, rüzgarın hızı ise bir sonraki günün havanın sıcaklığını verecektir. Yani navier-stroke fonksiyonuna f dersek ve pazartesi günkü hava sıcaklığına Sıcaklık-pazartesi dersek, bir hafta içinde herhangi bir yerdeki havanın sıcaklığı söyle olacaktır;

sıcaklık-Salı= f(sıcaklık-Pazartesi)

sıcaklık-Çarşamba= f(sıcaklık-Salı)= f(f(sıcaklık-Pazartesi))

sıcaklık Perşembe= f(sıcaklık-Çarşamba)= f(f(f(sıcaklık-Pazartesi)))

sıcaklık-Cuma= f (sıcaklık-Perşembe)= f(f(f(f(sıcaklık-Pazartesi))))

vs.

Yukarıda yapılan işleme matematikte iterasyon deriz. Havanın sıcaklığı ve rüzgarın hızını belirleyen fonksiyonun sonucunu bulmak oldukça karmaşıktır ve bir insanın yapamayacağı kadar çok bölme ve çarpma içerir. Düşünce çok basitti; bir insanın yapamayacağı kadar çok hesaplamayı bilgisayar yapacaktı ve biz bir sene sonraki havanın sıcaklığını nasıl olacağını bilecektik. Yeni bir çağ başlıyordu. Her şey çok harika görünüyordu ama ufak bir sorun vardı.

Havanın sıcaklığını veren fonksiyon lineer yani doğrusal değildir ( non-lineer). Lineer bir fonksiyonda değişkenin küpünü, karesini, kare kökünü ya da sinüs fonksiyonunu almazsınız. Değişken sade bir kahve gibi durur. Lineer bir fonksiyonda örneğin f(x)= 2x +1 gibi, x’in değerini 2’den bir artırıp 3 yaparsanız fonksiyon 5’den 7’e çıkar yani iki artar. Aynı şekilde 3’den 4’e çıkartırsanız 2*4+1= 9 olur yani yine iki artar. Bu böyle hep iki arta arta gider. Şimdi fonksiyonu non-lineer yani doğrusal olmayan yapalım yani f(x)= 2*x*x + 1 yaparsak 3’den 4’e 2*16+1=33, 2*9+1= 10, yani 23 artar. 4’den beşe çıkarsak 2*25+1= 51 olur. Yani artış doğrusal ve orantılı olmaz.

Gerçek dünyada lineer yani doğrusal bir fonksiyonla açıklanabilen doğa olayı yok denecek kadar azdır. Doğa doğrusal değildir (non-lineerdir). İşleri kolaylaştırmak için fonksiyonlar sanki doğrusalmış gibi basitleştirilir. Bu tembellikten kaynaklanmamaktadır. Doğrusal olmayan fonksiyonlar, bilim insanları için hayatı çok ama çok zorlaştırmaktadırlar. Bilgisayar bulununcaya kadar doğrusal olmayan fonksiyonlarla uğraşmak neredeyse imkansızdı. Şimdi kaosa geri dönelim.

Edward Lorenz adında bir meteoroloji araştırmacısı hava tahmini için bilgisayarını kullanarak (bu bilgisayarın değil faresi, klavyesi ve hatta delikli kartı bile yoktu, veriler bazı elektrik anahtarlarını açıp kapatarak giriliyordu) basit bir hava tahmin programı yapmaya çalışıyordu. Bu program için Navier-Stroke denklemini oldukça basitleştirmişti ve bu basitleştirilmiş ama hala doğrusal olmayan (non-lineer) fonksiyon üzerinde yukarıda anlattığımız gibi bir fonksiyonun iterasyonunu bilgisayar kullanarak yapıyordu. Sonra da bilgisayardan bulduğu sıcaklık değerlerini bir grafikte gösteriyordu. Bu grafikte yatay düzlemde günler, düşey düzlemde ise sıcaklık vardı. Bu normal iniş çıkışları olan sıradan bir grafik veriyordu. Lorenz tesadüf eseri ortada bulunan bir sıcaklık değerini yuvarlayarak fonksiyonu tekrar çalıştırdı. Bilgisayara sıfırdan sonraki üçüncü basamaktaki değeri yuvarlamasını söylemişti; yani bilgisayar 15.4086 derece sıcaklık değerini 15.409 yapıyordu. günlük yaşamda 15.409 derece ile 15.4086 arasındaki 0.004 derece önemsenmeyecek kadar ufaktır. Evinizdeki termometre bunu ölçemez zaten. Bilimsel araştırmalar için kullanılan en hassas termometrenin bile hassasiyeti bu kadar küçük bir farkı yakalayamaz. Zaten bu fark da ölçüm gürültüsü olarak kabul edilir. Bir insan olarak da bu sıcaklık farkını algılayamazsınız. Bu demektir ki en küçük adımı bir metre olan bir kişi, bir yeri adımla ölçerken 10 santimlik bir mesafeyi ölçemez.

Bu kadar ufak bir değişiklik (yani 0.004 derece) bir odaya konulan bir kelebeğin vücut sıcaklığı yada kanat çırpmasıyla havanın hızında yaratabileceği değişikliğe karşılık gelir.

Lorenz sağduyulu davranıp bu kadar ufak bir değişikliği tabi ki göz ardı etti ve fonksiyonu bilgisayarda yeniden çizdirdi. Normalde başlangıç değerleri arasında 0,004 derece kadar bir fark olan iki fonksiyonun sonuçları arasında bir fark olmaması beklenirdi. Yani x’deki değişiklik o kadar ufaktı ki fonksiyondaki değişiklik olmaması ya da gözle görülür bir değişiklik olmaması beklenirdi. Yani başlangıç değerini (pazartesi ölçülen hayali sıcaklık) 15.4086 derece yada 15.4090 aldığınızda otuz gün sonraki sıcaklığın aynı olmasını beklersiniz değil mi? Bu kadar ufak bir sıcaklık farkı değişiklik yapmaması gerekir, değil mi?

Lorenz de sizin gibi düşünüyordu. Zaten sağduyulu düşününce böyle olması gerekmez mi? Bu yüzden otuz gün sonraki sıcaklıkta farklı başlangıç değerleri için çok büyük farkı görünce önce bilgisayarın bozulduğunu düşündü. Çünkü her iki fonksiyon başlangıçta önce birbirine çok yakın hareket ediyor (ki beklenen de budur) fakat sonra birbirlerinden uzaklaşıyorlar ve ortaya bambaşka iki farklı fonksiyon çıkıyordu. Bu hiç ama hiç beklemediği bir sonuç olduğu için, Lorenz önce bilgisayarını kontrol etti. Bulduğu sağduyuya uyan bir sonuç değildi. Tekrar tekrar kontrol ettikten sonra bilgisayarında ve programda hata olmadığını görünce bunu bir makale olarak yayınladı. Kaos ya da non-lineer dinamik biliminin başlangıcı olan bu makale sadece meteorologlar için yayınlanan bir dergide unutulup kaldı. Fakat sonra yeniden keşfedildi ve kaos teorisinin başlangıç noktası olarak kabul edildi.

Lorenz’in bilgisayarda bulduğu sonuçlardan çıkardığı sonuç şuydu;

Doğru ve güvenilir bir uzun vadeli hava tahminini asla yapamazsınız. En sağlıklı hava tahmini belli bir süreyi aşamaz çünkü uzun vadede hava tahmini kaotik davranır. Çok hızlı ve gelişmiş bilgisayarlarınız olsa bile, başlangıçta değerindeki çok ama çok ufak bir sapma bizi çok farklı sonuçlara götürecektir.

Başlangıç değerine aşırı hassasiyet daha sonra “kelebek kanadı etkisi” olarak adlandırıldı. Yani sakin bir ada da perilerle dolu huzur içindeki bir ormanda mutluluk içindeki bir kelebeğin kanat çırpışı yüzlerce kilometre uzaklıktaki korkunç bir fırtınaya yol açabilecek değişikliğe neden olabilir. Bu bir fantezi yada kurgu değildir yukarıda gösterdiğimiz gibi bilimsel bir gerçekliktir. Eğer kelebek kanatlarını çırpmasaydı, modelimize göre fırtına çıkmayacaktı.

Kaos sadece meteoroloji alanında değil hayatın her yerinde var. Kanada’daki vaşak popülasyonunun gösterdiği değişikliklerden, borsa endeksinin iniş çıkışları, bir fincan kahveye damlattığınız süt damlasının alacağı şekil ve bir kül tablasında duran sigaradan çıkan dumanın alacağı şekil hep kaotiktir. Keyifle tüttürdüğünüz sigaranın dumanının alacağı şekli, en gelişmiş bilgisayar bile önceden tahmin edemez çünkü başlangıç koşullarını belirlemek mümkün değildir. Tütündeki ufak bir hava boşluğunun boyutları ya da dış sıcaklıktaki çok ufak bir değişiklik sigara dumanında hiç umulmadık değişikliklere yol açabilir. Bu yüzden hiçbir sigara dumanı bir diğerine benzemez.

Kaosun etkisi yaşamımızda ufak tesadüfler olarak kendini ortaya koyar. Hayali durumlar yaratabilirsiniz. Diyelim ki bir otobüste gidiyorsunuz ve yanınızda sevimli bir yaşlı teyze var. O sırada otobüse binen bir başka teyzeye yer veriyorsunuz. İki yaşlı teyze tatlı bir sohbete dalıyorlar. Siz de onlara bakıp gülümsüyorsunuz ve otobüsten iniyorsunuz. Bu noktadan sonra ne olduğunu siz bilmiyorsunuz. Hikayeyi bu noktadan sonra herkesin kabul edebileceği makul sınırlar içinde devam ettirebiliriz. İki yaşlı teyze ahbaplıklarını ilerlettikten sonra, evlerinin birbirlerine yakın olduğunu öğrenince tekrar görüşmek isterler. Evlerine gidip gelirler ve aralarında bir dostluk gelişir. Sonra torunları da tanışır ve evlenirler. Siz farkında olmadan iki insanın evlenmesine yol açan olaylar dizisini başlattınız. Yani kanadını çırpan kelebek bu örneğimizde sizsiniz.

Örneklerimizi tarihsel olaylara da taşıyabiliriz. Adolf Hitler’i sürekli döven alkolik babası, doğru dürüst bir baba olsaydı yakın tarih nasıl olurdu? Bir Sırp milliyetçisinin Avusturya veliahtına suikast yapmasıyla birinci dünya savaşı başlamıştır. Örnekleri çoğaltmak mümkün ama ne demek istediğimi anladınız sanırım.

Yazının en başında verilen tekerleme benzeri özdeyişte görülebileceği gibi, günlük yaşamdaki bu kaotik etkinin çok eskiden beri insanlar farkındaydı. Kaosun bir bilim halini gelmesi için bu yüzyılı beklemek gerekiyordu.

Gördüğünüz gibi çok ufak etkiler çok büyük sonuçlar doğurabiliyor. Kelebek kanadı umduğunuzdan çok daha güçlü ve tabi ki sizde sandığınızdan çok daha önemlisiniz. Kaos teorisini kavramak sizde ne gibi etki yapar bilemiyorum. Ama en azından biraz daha nazik ve sevecen olmanın bilimsel açıdan daha doğru olduğunu görebilirsiniz.

Ahlaki yönü dışında kaos teorisinin bize öğrettiği bir şey daha var: geleceği kimse bilemez ve belirleyemez. Ne kadar ince planlarsanız planlayın, şu anın dokusunda yer alan ufak bir kelebek kanadının çarpması bütün her şeyi baştan aşağı değiştirebilir.

Diyelim ki bir süper güçsünüz ve geleceği kendi çıkarlarınıza göre belirlemek istiyorsunuz. Kontrol edemeyeceğiniz o kadar çok şey var ki... Örneğin bir yerlerde perilerle dolu, huzur dolu bir ormandaki mutlu kelebeğin kanadının ne zaman ve ne şekilde çarpacağını belirleyemezseniz, geleceği de belirleyemezsiniz.